수학의 시작은 뭘까?
우선 이 개념을 알기 위해서는 몇 가지 알아야 할 개념들이 있다.
공리, 무정의, 정의, 정리
공리
정확한 의미는 아닐 수 있지만 나름대로 설명해보자면,
참이라고 가정하는 명제들이다.
여기서 의문이 들 수 있다. 공리가 왜 참인 지? 참이라면 왜 그렇게 생각하는지?
답변: 공리가 왜 참인 지? 참이라면 왜 그렇게 생각하는지?
공리가 참이 아닐 수도 있다. 하지만 그런 가치 판단은 자기 자신이 참이라고 생각하는 것들을 가정한 상태에서 말하는 것들이다. 그렇다면 되려 이렇게 물을 수도 있겠다. 왜 자기가 믿는 것들을 참이라고 생각하는지? 전자, 후자가 같은 말이다. 따라서 무엇이 참이라는 절대적인 기준은 없는 것이다. 공리란 참이라고 가정한 상태인 것이다. 여기서 말하는 것들의 범주는 우선 수학에 국한해서 생각해야 한다.
무정의
무정의란 정의 없이 받아들이는 무언가 이다.
집합의 사전적 정의를 보면 특정한 조건에 맞는 원소들의 모임이다. 또 모임은 특정한 성질을 만족하는 집합이다. 이렇게 정의가 끝없이 돌고 돈다. 따라서 집합이라는 정확한 단어를 정의할 수 없다. 하지만 우리는 집합이 어떤 것들을 의미하는지 안다. 이럴 때 쓰는 것이 무정의 이다.
정리
공리나 정리로부터 모순이 발생하지 않은 명제들이다.
정의
공리나 정리로부터 모순이 발생하지 않은 명제들이다.
다만, 정의가 정리와 차이가 있다면 정의는 정리에 비해 좀 더 자주 쓰이고 좀 더 근본적인 느낌이 있다. 사실 가장 근본적인 것은 공리이지만 말이다.
칸토어는 공리가 불완전하다는 것을 증명했다. 즉 어떠한 공리계든 불완전하다는 것이다. 여기서 공리계란 공리들이 모여있는 것이다. 하지만 이러한 불완전한 공리계도 충분하다고 한다. 신기하게도 우리가 더하기 빼기를 하는 것도 공리계로 구축된 정리들이다.
이제 수학의 시작에 대한 답이 보일 것이다.
수학의 시작은 공리이다.
공리들은 매우 많은 것이 아니다. 예로 들면, 선형대수학은 공리 8개로 구성된 공리계로 설명될 수 있다. 다른 공리계로도 설명될 수 있다. 해석학은 공리 13개 정도로 구성된 공리계로 설명될 수 있다. 아주 적은 수의 공리이지만 공리로부터 새로운 사실들이 발견된 수만큼 아주 많은 정리들을 가지고 있다.
수학은 과학을 서술하는 언어이다. 따라서 수학의 공리는 과학에서 자음 모음인 것이다. 수학에서 가장 작은 단위이기 때문이다. 이때 서술의 대상은 수학적인 것이다. 숫자, 변수, 함수, 집합, 등등